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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\begin{center}
\Huge \textbf{数值分析第五次理论作业} \\ [0.2cm]
\LARGE 林敬翊 3210300367 信息与计算科学
\end{center}

\section{QI}
\subsection{线性空间和内积的证明}

首先，根据闭区间上连续函数的性质，我们可以得出以下结论：

\subsection*{线性空间的性质}
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        & \forall u,v \in \mathcal{C}[a,b],\ u + v = v + u, \\
        & \forall u,v,w \in \mathcal{C}[a,b],\ (u + v) + w = u + (v + w), \\
        & \forall u \in \mathcal{C}[a,b], \forall \alpha,\beta \in \mathbb{F},\ (\alpha\beta)u = \alpha(\beta u); \\
        & \exists 0 \in \mathcal{C}[a,b],\ \forall u \in \mathcal{C}[a,b],\ u + 0 = u, \\
        & \forall u \in \mathcal{C}[a,b],\ \exists -u \in \mathcal{C}[a,b],\ u + (-u) = 0, \\
        & \exists 1 \in \mathbb{F},\ \forall u \in \mathcal{C}[a,b],\ 1u = u, \\
        & \forall u,v \in \mathcal{C}[a,b],\ \forall \alpha,\beta \in \mathbb{F},\ (\alpha + \beta)u = \alpha u + \beta u,\ \alpha(u + v) = \alpha u + \alpha v. \\
    \end{aligned}
\end{equation}

因此，我们可以确定 $\mathcal{C}[a,b]$ 是 $\mathbb{C}$ 上的线性空间。

\subsection{内积的性质}
接下来，我们证明定理定义的 $\langle u,v \rangle$ 是线性空间上的内积：
\begin{equation}
    \begin{aligned}
        & \forall v \in \mathcal{C}[a,b], \langle v,v \rangle = \int_a^b \rho (t)|v(t)|^2 \mathrm{d}t \geq 0,\ \langle v,v \rangle = 0 \iff v = 0, \\
        & \forall u,v,w \in \mathcal{C}[a,b], \langle u + v,w \rangle = \int_a^b \rho(t)[u(t) + v(t)]\overline{w(t)} \mathrm{d}t = \langle u,w \rangle + \langle v,w \rangle, \\
        & \forall \alpha \in \mathbb{F},\ \forall v,w \in \mathcal{C}[a,b],\ \langle \alpha v,w \rangle = \int_a^b \alpha \rho(t)v(t)\overline{w(t)} \mathrm{d}t = \alpha \langle v,w \rangle, \\
        & \forall v,w \in \mathcal{C}[a,b],\ \overline{\langle w,v \rangle} = \int_a^b \rho(t)v(t)\overline{w(t)} \mathrm{d}t = \langle v,w \rangle. \\
    \end{aligned}
\end{equation}

因此，我们可以断定 $\langle u,v \rangle$ 是一个内积。

\subsection{范数的性质}
最后，根据以下等式和定义：
\begin{equation}
    \Vert u \Vert_2 = \left( \int_a^b \rho (t)|u(t)|^2 \mathrm{d}t \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\langle u,u \rangle},
\end{equation}
可知，$\Vert u \Vert_2$ 是 $\mathbb{R}$ 上的一个范数。证明成立


\section{QII}


\noindent\textbf{(a)} 对于所有的 $m,n \in \mathbb{N}, m \neq n$，我们有
\begin{equation}
    \begin{split}
        \left \langle T_m(x),T_n(x) \right \rangle &= \int_{-1}^1 \cos(m\arccos x)\cos(n\arccos x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}  \mathrm{d}x \\
        & = -\int_{-1}^1 \cos(m\arccos x)\cos(n\arccos x) \mathrm{d}(\arccos x) \\
        & = \int_{0}^{\pi} \cos(mt)\cos(nt)\mathrm{d}t \\
        & = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \cos[(m+n)t]\mathrm{d}t + \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} \cos[(m-n)t]\mathrm{d}t \\
        & = 0,
    \end{split}
\end{equation}
因此，第一类Chebyshev多项式在Theorem 5.7定义的内积和权重函数$\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$下是正交的。

\noindent\textbf{(b)} 前三个Chebyshev多项式为
\begin{equation}
    \begin{split}
        & u_1 =1,\quad u_2 = x, \quad u_3 = 2x^2 - 1 \\
        & \Vert u_1 \Vert_2^2 = \pi, \quad \Vert u_2 \Vert_2^2 = \frac{\pi}{2}, \quad \Vert u_3 \Vert_2^2 = \frac{\pi}{2}
    \end{split}
\end{equation}
归一化得到标准正交系统
\begin{equation}
    u_1^* = \sqrt{\frac{1}{\pi}},\quad
	u_2^* = \sqrt{\frac{2}{\pi}}x,\quad
	u_3^* = \sqrt{\frac{2}{\pi}}(2x^2-1).
\end{equation}
\section{QIII}
\noindent\textbf{(a)}由QII可知，
\begin{equation}
    u_1^* = \sqrt{\frac{1}{\pi}},\quad
	u_2^* = \sqrt{\frac{2}{\pi}}x,\quad
	u_3^* = \sqrt{\frac{2}{\pi}}(2x^2-1).
\end{equation}
于是就有
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&b_0 = <y,u_1^*> = \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{\pi}}\,\mathrm{d}x = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\\
&b_1 = <y,u_2^*> = \sqrt{\frac{2}{\pi}}x\,\mathrm{d}x = 0\\
&b_2 = <y,u_3^*> = \sqrt{\frac{2}{\pi}}(2x^2-1)\,\mathrm{d}x = -\sqrt{\frac{8}{9\pi}}
\end{aligned}
\end{equation*}
最佳近似二次多项式为：
$$\hat{\varphi}(x) = b_0u_1^* + b_1u_2^* + b_2u_3^* = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{3\pi}(2x^2-1) = 
 -\frac{8}{3\pi}x^2 + \frac{10}{3\pi}$$

\noindent\textbf{(b)}
由Theorem5.34及Example5.35,可得
\begin{equation*}
	\begin{bmatrix}
        \left \langle 1,1 \right \rangle & \left \langle 1,x \right \rangle & \left \langle 1,x^2 \right \rangle \\
        \left \langle x,1 \right \rangle & \left \langle x,x \right \rangle & \left \langle x,x^2 \right \rangle\\
        \left \langle x^2,1 \right \rangle& \left \langle x^2,x \right \rangle & \left \langle x^2,x^2 \right \rangle\\    
	\end{bmatrix}^T
	\begin{bmatrix}
		a_0 \\a_1\\a_2
	\end{bmatrix}
	=\begin{bmatrix}
	    \left \langle y,1 \right \rangle\\
        \left \langle y,x \right \rangle \\
        \left \langle y,x^2 \right \rangle\\
	\end{bmatrix}
\end{equation*}
即
\begin{equation*}
	\begin{bmatrix}
		\pi         & 0         & \frac{\pi}{2}   \\
		0           & \frac{\pi}{2} & 0             \\
		\frac{\pi}{2} & 0         & \frac{3\pi}{8} \\
	\end{bmatrix}^T
	\begin{bmatrix}
		a_0 \\a_1\\a_2
	\end{bmatrix}
	=\begin{bmatrix}
		2  \\
	      0  \\
		\frac{2}{3} \\
	\end{bmatrix}
\end{equation*}
解得 
\begin{equation}
    \textbf{a}=\begin{bmatrix}
    \frac{10}{3\pi} \\ 0 \\ -\frac{8}{3\pi}
    \end{bmatrix}
\end{equation}
从而最佳近似二次多项式为：
$$\hat{\varphi}(x) = -\frac{8}{3\pi}x^2 + \frac{10}{3\pi}$$

\section{QVI}
\noindent\textbf{(a)}
% 定义多项式
$$u_1 = 1, \quad u_2 = x, \quad u_3 = x^2$$


$v_1 = u_1
||v_1||^2 = 12  % 因为 v_1 是常数 1 并且有 12 个点
u_1^* = \frac{v_1}{||v_1||} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

% 第二步：计算 u_2^*
% 计算 x 和 u_1^* 的内积
$$\text{内积 }\langle x, u_1^* \rangle = \sum_{i=1}^{12} i \cdot u_1^*(t_i) = \sum_{i=1}^{12} i \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}
v_2 = u_2 - \langle x, u_1^* \rangle u_1^*
||v_2||^2 = \sum_{i=1}^{12} v_2^2(t_i)
u_2^* = \frac{v_2}{||v_2||} = \frac{\sqrt{143}}{143} \left(x - \frac{13}{2}\right)$$

% 第三步：计算 u_3^*
% 计算 x^2 和 u_1^* 的内积
$\text{内积 }\langle x^2, u_1^* \rangle = \sum_{i=1}^{12} i^2 \cdot u_1^*(t_i)$
% 计算 x^2 和 u_2^* 的内积
$\text{内积 }\langle x^2, u_2^* \rangle = \sum_{i=1}^{12} i^2 \cdot u_2^*(t_i)
v_3 = u_3 - \langle x^2, u_1^* \rangle u_1^* - \langle x^2, u_2^* \rangle u_2^*
||v_3||^2 = \sum_{i=1}^{12} v_3^2(t_i)
u_3^* = \frac{v_3}{||v_3||} = \frac{\sqrt{3003}}{2002} \left(x^2 - 13x + \frac{91}{3}\right)$

\noindent\textbf{(b)}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&b_0 = \langle y, u_1^* \rangle = \sum_{i=1}^{12} \frac{\sqrt{3}}{6}y_i = 277\sqrt{3}, \\
&b_1 = \langle y, u_2^* \rangle = \sum_{i=1}^{12} \frac{1}{\sqrt{143}}\left(x_i - \frac{13}{2}\right)y_i = \frac{589}{\sqrt{143}}, \\
&b_2 = \langle y, u_3^* \rangle = \sum_{i=1}^{12} \frac{\sqrt{3003}}{2002}\left(x_i^2 - 13x_i + \frac{91}{3}\right)y_i 
= \frac{6034\sqrt{3003}}{1001}.
\end{aligned}
\end{equation*}

最佳近似多项式为：
\begin{equation*}
\hat{\varphi}(x) = b_0u_1^* + b_1u_2^* + b_2u_3^* = 
\frac{277}{2} + \frac{589}{143}\left(x - \frac{13}{2}\right) + \frac{9051}{1001}\left(x^2 - 13x + \frac{91}{3}\right) 
\approx 9.04x^2 - 113.43x + 386.
\end{equation*}
% (c) 假设有其他格式与示例中相同的销售记录表
\noindent\textbf{(c)} 

\textbf{可以重复使用的计算}：
\begin{itemize}
  \item \textbf{正交多项式的构造}：由于 \(N\) 和 \(x_i\) 的值保持不变，之前通过 Gram-Schmidt 过程构造的正交多项式 \(u_1^*, u_2^*, u_3^*\) 可以直接重复使用。
  \item \textbf{正交多项式的范数}：与上述多项式相关的范数计算（如 \(||v_1||^2, ||v_2||^2, ||v_3||^2\)）也可以重复使用。
\end{itemize}

\textbf{不能重复使用的计算}：
\begin{itemize}
  \item \textbf{傅里叶系数的计算}：傅里叶系数 \(b_0, b_1, b_2\) 的计算需要使用新的 \(y_i\) 值。
  \item \textbf{最佳近似多项式的构造}：由于傅里叶系数改变，构造的最佳近似多项式 \(\hat{\varphi}(x)\) 也需要重新计算。
\end{itemize}

\textbf{正交多项式的优势}：
这种重用体现了正交多项式在数据拟合和系数计算方面的优势。一旦构造了一组针对特定 \(x_i\) 值的正交多项式，无论 \(y_i\) 值如何变化，这些多项式都可以被重复使用。这在处理类似但不完全相同的数据集时尤为有用，因为可以避免每次都从头开始计算正交基础。

\end{document}